Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設＝t，求實數t的值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝

【解析】(1)設橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，

由題意知解得

因此橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)(ⅰ)當A，B兩點關于x軸對稱時，設直線AB的方程為x＝m.

由題意得－＜m＜0或0＜m＜.

將x＝m代入橢圓方程＋y2＝1，得|y|＝ .

所以S△AOB＝|m|·＝.解得m2＝或m2＝.①

因為＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又P為橢圓C上一點，所以＝1.②

由①②，得t2＝4或t2＝，

又t＞0，所以t＝2或t＝.

(ⅱ)當A，B兩點關于x軸不對稱時，設直線AB的方程為y＝kx＋h.

將其代入橢圓的方程＋y2＝1，得

(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由判別式Δ＞0可得1＋2k2＞h2，

此時x1＋x2＝－，x1x2＝，

y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，

所以|AB|＝.

因為點O到直線AB的距離d＝，

所以S△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.

又S△AOB＝，所以××|h|＝.③

令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0.

解得n＝4h2或n＝h2，即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④

因為＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，

又P為橢圓C上一點，

所以t2＝1，即＝1.⑤

將④代入⑤，得t2＝4或t2＝.

又t＞0，故t＝2或t＝.

經檢驗，適合題意．

綜合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝