Question

已知，函數．
（Ⅰ）當時，
（1）若，求函數的單調區間；
（2）若關于的不等式在區間上有解，求的取值范圍；
（Ⅱ）已知曲線在其圖象上的兩點，（）處的切線分別為．若直線與平行，試探究點與點的關系，并證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）(1) 單調遞增區間為 ;(2) ;(Ⅱ)詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）(1)根據求出的值，然后利用,得到函數在定義域內都是單調遞增的，從而寫出其單調區間;
(2)當時，將不等式化簡，整理為在區間上有解問題，可以反解,利用不等式在區間上有解，即大于等于其最小值，轉化為求在區間上的最小值，
（Ⅱ）的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，則點與點關于點對稱．然后對猜測進行證明，首先求其兩點處的導數，即兩切線的斜率，利用平行及斜率相等，證明,.
試題解析：（Ⅰ）（1）因為，所以，        1分
則，
而恒成立，
所以函數的單調遞增區間為．        4分
（2）不等式在區間上有解，
即不等式在區間上有解，
即不等式在區間上有解，
等價于不小于在區間上的最小值．      6分
因為時，，
所以的取值范圍是．        9分
Ⅱ.因為的對稱中心為，
而可以由經平移得到，
所以的對稱中心為,故合情猜測，若直線與平行，
則點與點關于點對稱．        10分
對猜想證明如下：
因為，
所以，
所以，的斜率分別為，．
又直線與平行，所以，即，
因為，所以，，        12分
從而，
所以．
又由上，
所以點，（）關于點對稱．
故當直線與平行時，點與點關于點對稱．        14分