Question

（2009•閘北區一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0°＜θ≤90°）．
（1）若θ=90°，求二面角A-PC-B的大小；
（2）試求四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：PA=

1

AC

=

2

2

，距離空間直角坐標系，再分別求出兩個平面的法向量，然后利用空間向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．
（2）由已知可得，平行四邊形ABCD的面積為：S=sinθ，再由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，即可得到PA=

1

2-2cosθ

，進而表示出棱錐的體積，再結合三角的有關求出體積的范圍．

解答：解：（1）因為PA⊥平面ABCD，并且θ=90°，
所以以A為坐標原點，分別以AB、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
因為AB=1，PA•AC=1，
所以PA=

1

AC

=

2

2

，
所以A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，

2

2

），B（1，0，0），
設平面PBC的法向量為：

n1

=（x，y，z），
因為

BC

=（0，1，0），

PB

=（1，0，-

2

2

），
所以

BC • n1 =0 PB • n1 =0

，即

y=0 x- 2 2 z=0

，
取平面PBC的法向量為：

n1

=(

2

2

，0，1)，
根據題意可得：平面PAC的法向量

n2

=(1，-1，0)，
所以二面角A-PC-B的平面角α=arccos

n1 • n2

| n1 |•| n2|

=arccos

6

6

．
所以所求二面角A-PC-B的大小為arccos

6

6

．
（2）由已知可得，平行四邊形ABCD的面積為：S=sinθ，
由余弦定理可求得AC=

2-2cosθ

，
∴PA=

1

2-2cosθ

，
∴V=

1

3

•

sinθ

2-2cosθ

=

2

6

•

sin2θ 1-cosθ

=

2

6

•

1+cosθ

∵0°＜θ≤90°，
∴0≤cosθ＜1．
∴

2

6

≤V＜

1

3

．
所以四棱錐V-ABCD的體積V的取值范圍是[

2

6

，

1

3

)．

點評：本題主要考查二面角的平面角與棱錐的體積公式，此題求棱錐的體積關鍵是根據題意求出棱錐的高，并且 考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力．