Question

已知函數f(x)＝|ax－2|＋bln x(x>0，實數a，b為常數)．
(1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數，求b的取值范圍；
(2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的個數．

Answer 1

（1）[2，＋∞)．
（2）0

解：(1)當a＝1時，
f(x)＝|x－2|＋bln x

①當0<x<2時，f(x)＝－x＋2＋bln x，
f′(x)＝－1＋.
由條件得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．
所以b≥2；
②當x≥2時，f(x)＝x－2＋bln x，
f′(x)＝1＋.
由條件得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．
所以b≥－2.
因為函數f(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，綜合①②得b的取值范圍是[2，＋∞)．
(2)令g(x)＝|ax－2|＋ln x－，即

當0<x<時，
g(x)＝－ax＋2＋ln x－，
g′(x)＝－a＋＋.
因為0<x<，所以>，
則g′(x)>－a＋＋＝≥0，
即g′(x)>0，所以g(x)在上是單調增函數；
當x>時，g(x)＝ax－2＋ln x－，
g′(x)＝a＋＋>0，
所以g(x)在上是單調增函數．
因為函數g(x)的圖像在(0，＋∞)上不間斷，所以g(x)在(0，＋∞)上是單調增函數．
因為g＝ln－，
而a≥2，所以ln≤0，則g<0，
g(1)＝|a－2|－1＝a－3.
①當a≥3時，因為g(1)≥0，所以g(x)＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f(x)＝解的個數為1；
②當2≤a<3時，因為g(1)<0，所以g(x)＝0在(0,1]上無解，即方程f(x)＝解的個數為0.