Question

已知(

x

2

+

1

x

)n各項展開式的二項式系數之和為256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式中的常數項．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，由二項式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（Ⅱ）由二項式定理可得，先求出展開式的通項，要求常數項，令X的指數為0，可得r的值，代入可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據題意，(

x

2

+

1

x

)n展開式的二項式系數為256，
由二項式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（Ⅱ）由二項式定理可得，(

x

2

+

1

x

)n展開式的通項為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（

1

x

）^r=C₈^r（

1

2

）^r•x^8-2r；
令8-2r=0，可得r=4，
則常數項為T₅=

c

4 8

•(

1

2

)4=

35

8

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，要牢記二項式（x+y）ⁿ中，其二項式系數之和為2ⁿ；當求各項系數之和時，是讓自變量為1來求解．