Question

已知函數，．

（Ⅰ）當時，求函數的極小值；

（Ⅱ）若函數在上為增函數，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求導數，及其零點，判斷導數符號變化，即可得原函數增減變化，可得其極值。（Ⅱ）函數在是增函數，轉化為，對恒成立問題。即的最小值大于等于0.將問題最終轉化為求的最小值問題。仍用導數求單調性，用單調性求最值的方法求的最小值。所以需設函數，對函數重新求導，求極值。判斷導數符號變化，得的增減區間，的最小值。

試題解析：解：（Ⅰ）定義域．

當時，，．

令，得．

當時，，為減函數；

當時，，為增函數.

所以函數的極小值是． 5分

（Ⅱ）由已知得．

因為函數在是增函數，所以，對恒成立．

由得，即對恒成立．

設，要使“對恒成立”，只要．

因為，令得．

當時，，為減函數；

當時，，為增函數.

所以在上的最小值是．

故函數在是增函數時，實數的取值范圍是 13分

考點：1函數的概念和性質；2導數和利用導數研究函數性質。