Question

某高校組織自主招生考試，共有2 000名優秀同學參加筆試，成績均介于195分到275分之間，從中隨機抽取50名同學的成績進行統計，將統計結果按如下方式分成8組：第1組[195,205)，第2組[205,215)，…，第8組[265,275]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績在260分(含260分)以上的同學進入面試．

(1)估計所有參加筆試的2 000名同學中，參加面試的同學人數；

(2)面試時，每位同學抽取兩個問題，若兩個問題全答錯，則不能取得該校的自主招生資格；若兩個問題均回答正確且筆試成績在270分以上，則獲A類資格；其他情況下獲B類資格．現已知某中學有兩人獲得面試資格，且僅有一人筆試成績為270分以上，在回答兩個面試問題時，兩人對每一個問題正確回答的概率均為，求恰有一名同學獲得該高校B類資格的概率．

 

Answer 1

（1）280人（2）

【解析】(1)設第i(i＝1,2，…，8)組的頻率為fi，則由頻率分布直方圖知f7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12.

所以成績在260分以上的同學的概率P≈＋f8＝0.14，

∴2 000×0.14＝280，

故這2 000名同學中，取得面試資格的約為280人．

(2)不妨設兩名同學分別為M，N，且M的筆試成績在270分以上，則對于M，答題的可能有M11，M10，M01，M00，對于N，答題的可能有N11，N10，N01，N00，其中角標中的1表示正確，0表示錯誤，如N10表示N同學第一題正確，第二題錯誤．

將兩名同學的答題情況列表如下：

	M11	M10	M01	M00
N11	AB	BB	BB	CB
N10	AB	BB	BB	CB
N01	AB	BB	BB	CB
N00	AC	BC	BC	CC

表中AB表示M獲A類資格，N獲B類資格；BC表示M獲B類資格，N沒有獲得資格．

所以恰有一名同學獲得該高校B類資格的概率為＝.