Question

在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓E：的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為、．設直線的傾斜角的正弦值為，圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱．

（1）求橢圓E的離心率；
（2）判斷直線與圓的位置關系，并說明理由；
（3）若圓的面積為，求圓的方程．

Answer 1

（1），（2）相切，（3）.

解析試題分析：（1）求橢圓E的離心率，只需列出關于的一個等量關系就可解出. 因為直線的傾斜角的正弦值為，所以，即，（2）判斷直線與圓的位置關系，通常利用圓心到直線距離與半徑大小比較. 因為直線的傾斜角的正弦值為，所以直線的斜率為于是的方程為：，因此中點到直線距離為所以直線與圓相切,又圓與以線段為直徑的圓關于直線對稱，直線與圓相切．（3）由圓的面積為知圓半徑為1，所以設關于直線：的對稱點為，則解得．所以，圓的方程為．
【解】（1）設橢圓E的焦距為2c（c>0），
因為直線的傾斜角的正弦值為，所以，
于是，即，所以橢圓E的離心率  
（2）由可設，，則，
于是的方程為：，
故的中點到的距離，         又以為直徑的圓的半徑，即有，
所以直線與圓相切．                            
（3）由圓的面積為知圓半徑為1，從而，         
設的中點關于直線：的對稱點為，
則                              
解得．所以，圓的方程為．
考點：橢圓離心率，直線與圓位置關系，點關于直線對稱點