Question

已知函數，
（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；
（2）是否存在實數，當（是自然常數）時，函數的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由；
（3）當時，證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先對函數進行求導，根據函數h（x）在[2，3]上是減函數，可得到其導函數在[2，3]上小于等于0應該恒成立，再結合二次函數的性質可求得a的范圍；（2）先假設存在，然后對函數g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數g（x）在（0，e]上的單調性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3；（3）結合（2）知的最小值為3，只須證明即可，令，則在上單調遞增，∴的最大值為 故，即得證.
解：（1）令，則，
  （1分））∵在上是減函數，
∴在上恒成立，即在上恒成立 （2分）
而在上是減函數，∴的最小值為
  （4分）
（2）假設存在實數，使有最小值是3，∵，
若，則，∴在上為減函數，的最小值為
∴與矛盾， （5分）
若時，令，則
當，即，在上單調遞減，在上單調遞增
，解得   （7分）
當，即時，在上單調遞減
∴與矛盾，  （9分）
（3）∵，由整理得， （10分）
而由（2）知的最小值為3，只須證明即可  （11分））
令，則在上單調遞增，
∴的最大值為（12分）
故，即   （14分）
（接11分處另解， 即證，即證，
令，則，求得從而得證）.