Question

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，(n≥2)，若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為Γ數列。對于Γ數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁(約定：一個數也視作數列)。若A₁還是Γ數列，可繼續實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k，
（Ⅰ）設A：0，，請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的Γ數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：，求A₉的可能結果，并說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）A₁有如下的三種可能結果：A₁：；A₁：；A₁：。
（Ⅱ），
有且，
所以，即每次操作后新數列仍是Γ數列，
又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，所以對Γ數列A每操作一次，項數就減少一項，所以對n項的Γ數列A可進行n-1次操作（最后只剩下一項）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項，
對于滿足的實數a，b定義運算：，
下面證明這種運算滿足交換律和結合律。
因為，且，所以，即該運算滿足交換律；
因為
且，
所以，即該運算滿足結合律；
所以A₉中的項與實施的具體操作過程無關；
選擇如下操作過程求A₉：由（Ⅰ）可知；
易知；；；；
所以A₉：，0，0，0，0；
易知A₉經過4次操作后剩下一項為，
綜上可知：A₉：。