Question

（2011•上海模擬）設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與an+1(n∈N*)之間插入n個1，構成如下的新數列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求這個數列的前2012項的和；
（3）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列（如：在a₁與a₂之間插入1個數構成第一個等差數列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個數構成第二個等差數列，其公差為d₂，…以此類推），設第n個等差數列的和是A_n．是否存在一個關于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設a_n=a₁q^n-1，由a_n+1=2S_n+2，建立方程組，求出a₁和q，能夠推導出a_n．
（2）利用題設條件知：到a_n為止，新的數列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

項，令

n(n+1)

2

=2012，知：到a₆₂為止，新的數列共有1953項，由此能求出該數列的前2012項的和．
（3）依題意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

，要使A_n=g（n）d_n，則4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，由此能夠推導出存在g（n）=n²+3n+2滿足條件．

解答：解：（1）設a_n=a₁q^n-1，
由a_n+1=2S_n+2，知

a1q=2a1+2 a1q2=2(a1+a1q)+2

，
解得

a1=2 q=3

，
故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）依題意，到a_n為止，新的數列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

項，
令

n(n+1)

2

=2012，
得n=

-1+ 1+4024×4

2

≈62.9，
即到a₆₂為止，新的數列共有1+2+3+4+…+62=

62(62+1)

2

=1953項，
故該數列的前2012項的和為：
a₁+a₂+…+a₆₂+1+2+3+…+61+（2012-1953）=

2×(1-362)

1-3

+1950=3⁶²+1949．
（3）依題意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，
A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

=4（n+2）×3^n-1，
要使A_n=g（n）d_n，
則4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n²+3n+2，
即存在g（n）=n²+3n+2滿足條件．

點評：第（1）題考查數列的通項公式的求法，解題時要注意合理地進行等價轉化；第（2）題考查數列的前n項和的計算和等比數列的綜合運用，解題時要注意等比數列和等差數列前n項和公式的合理運用；第（3）題考查多項式是否存在的探索，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答．