Question

已知數列滿足，，，是數列 的前項和．

（1）若數列為等差數列．

①求數列的通項；

②若數列滿足，數列滿足，試比較數列 前項和與前項和的大小；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）①

②當或時，；當或時，；當時，

（2）

【解析】

試題分析：（1） 解等差數列問題，主要從待定系數對應關系出發.①從與關系出發，得出，利用解出，從而解出首項與公差，② 實際是一個等比數列，分別求出數列 前項和與前項和 ，要使計算簡便，需用 表示 ，比較兩者大小通常用作差法. 作差法的關鍵是因式分解，將差分解為因子，根據因子的符號討論差的正負，從而確定大小，（2） 不等式恒成立問題，首先化簡不等式. 需從與關系出發，得出項的關系：，這是三項之間的關系，需繼續化簡成兩項之間關系：，這樣原數列分解為三個等差數列，則恒成立等價轉化為且，代入可解得

試題解析：解：（1）因為，所以，

即，又，所以， 2分

①又因為數列成等差數列，所以，即，解得，

所以； 4分

②因為，所以，其前項和，

又因為， 5分

所以其前項和，所以， 7分

當或時，；當或時，；

當時， 9分

（2）由知，

兩式作差，得， 10分

所以,作差得， 11分

所以，當時，；

當時，；

當時，；

當時，； 14分

因為對任意，恒成立，所以且，

所以，解得，，故實數的取值范圍為． 16分

考點：等差數列通項，等比數列求和，不等式恒成立