Question

已知數(shù)列滿足，，，是數(shù)列 的前項(xiàng)和．

(1)若數(shù)列為等差數(shù)列．

（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（ⅱ）若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，試比較數(shù)列 前項(xiàng)和與前項(xiàng)和的大小；

(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（ⅰ）；（ⅱ）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）（ⅰ）由可得，在遞推關(guān)系式中，由可求，進(jìn)而求出，于是可利用是等差數(shù)列求出的值，最后可求出的通項(xiàng)公式，（ⅱ）易知，所以要比較和的大小，只需確定的符號和和1的大小關(guān)系問題，前者易知為正，后者作差后判斷符號即可；（2）本題可由遞推關(guān)系式通過變形得出，于是可以看出任意，恒成立，須且只需，從而可以求出的取值范圍．

試題解析：(1)（ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，

即，又，所以， 2分

又因?yàn)閿?shù)列成等差數(shù)列，所以，即，解得，

所以； 4分

（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，其前項(xiàng)和，

又因?yàn)?/span>， 5分

所以其前項(xiàng)和，所以， 7分

當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，． 9分

（2）由知，

兩式作差，得， 10分

所以,

再作差得， 11分

所以，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，； 14分

因?yàn)閷θ我?/span>，恒成立，所以且，

所以，解得，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為． 16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用.