Question

設數列{a_n}是有窮等差數列，給出下面數表：
a₁　a₂a₃ …a_n-1　　a_n第1行
a₁+a₂　a₂+a₃　…a_n-1+a_n　第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n個數為a₁，a₂，a₃…a_n，從第二行起，每行中的每一個數都等于它肩上兩數之和．記表中各行的數的平均數（按自上而下的順序）分別為b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求證：數列b₁，b₂，b₃…b_n成等比數列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和

n

k=1

akbk．

Answer 1

（1）證明：由題設易知，b1=

n(a1+an)

2n

=

a1+an

2

，
b2=

(n-1)(a1+a2+…+an)

2(n-1)

=

a1+a2+…+an

2

=a1+an．
設表中的第k（1≤k≤n-1）行的數為c₁，c₂…c_n-k+1，顯然c₁，c₂…c_n-k+1，成等差數列，則它的第k+1行的數是c₁+c₂，c₂+c₃…c_n-k+c_n-k+1也成等差數列，它們的平均數分別是bk=

c1+cn-k+1

2

，b_k+1=c₁+c_n-k+1，于是

bk+1

bk

=2（1≤k≤n-1，k∈N^*）．
故數列b₁，b₂…b_n是公比為2的等比數列．（7分）
（2）由（1）知，bk=b1•2k-1=

a1+a2

2

•2k-1，
故當a_k=2k-1時，bk=n•2k-1，akbk=n(2k-1)•2k-1．
于是

n

k=1

akbkn

n

k=1

(2k-1)•2k-1．　　　　　　　　　　　（9分）
設S=

n

k=1

(2k-1)•2k-1，
則S=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1①
2S=1•2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ②
①-②得，-S=1×2⁰+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
化簡得，S=（2n-1）•2ⁿ-2ⁿ⁺¹+3，
故

n

k=′1

akbk=n（2n-1）•2n-n•2ⁿ⁺¹+3n．（14分）