Question

（2007•浦東新區一模）已知復數z滿足z=（-1+3i）（1-i）-4．
（1）求復數z的共軛復數

.

z

；
（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用i²=-1對z進行化簡，并整理出實部和虛部，再由由共軛復數的定義求出；
（2）根據（1）求出的結果和復數模的公式求出|z|，再結合條件表示出|w|，根據題意列出關于a的不等式，利用二次不等式的解法求出a的范圍．

解答：解：（1）∵z=（-1+3i）（1-i）-4=-1+i+3i+3-4=-2+4i，
∴

.

z

=-2-4i
（2）由（1）知z=-2+4i，∴|z|=2

5

，
∵w=-2+（4+a）i，∴|w|=

4+(4+a)2

=

20+8a+a2

∵|w|≤|z|，∴20+8a+a²≤20，∴a²+8a≤0，∴a（a+8）≤0，
∴實數a的取值范圍是：-8≤a≤0．

點評：本題是有關復數的綜合題，考查了共軛復數的定義，復數模的公式的應用，以及二次不等式的解法．