Question

等差數列{a_n}中a₃=7,a₁+a₂+a₃=12，記為{a_n}的前n項和,令b_n=a_na_n+1,數列的前n項和為T_n.(1)求a_n和S_n；(2)求證：T_n<；(3)是否存在正整數m , n ，且1<m<n ，使得T₁ , T_m , T_n成等比數列？若存在，求出m ,n的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ) S_n=   (Ⅱ) 略 （Ⅲ）m=2,n=16

解（1）設數列的公差為，由
,.
解得，="3 " …2分∴; ……3分 S_n=  4分
(2)          
∴       ……………………… 6分
∴                   =  … 8分  …… 9分
(3)由(2)知，   ∴，
∵成等比數列.∴     即…… 11分
當m=1時，7，=1，不合題意；
當m=2時，，=16，符合題意；
當m=3時，，無正整數解；
當m=4時，，無正整數解；
當m=5時，，無正整數解；
當m=6時，，無正整數解；…… 14分(少討論一個扣0.5分)
當m≥7時， ,
則，而，
所以，此時不存在正整數m,n,且7<m<n,使得成等比數列.……15分
綜上，存在正整數m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數列.… 16分