Question

甲、乙兩運動員進行射擊訓練,已知他們擊中目標的環數都穩定在7,8,9,10環,且每次射擊成績互不影響,射擊環數的頻率分布表如下:
甲運動員

射擊環數	頻數	頻率
7	10	0.1
8	10	0.1
9	x	0.45
10	35	y
合計	100	1

乙運動員

射擊環數	頻數	頻率
7	8	0.1
8	12	0.15
9	z
10		0.35
合計	80	1

若將頻率視為概率,回答下列問題:
(1)求甲運動員射擊1次擊中10環的概率.
(2)求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上(含9環)的概率.
(3)若甲運動員射擊2次,乙運動員射擊1次,ξ表示這3次射擊中擊中9環以上(含9環)的次數,求ξ的分布列及E(ξ).

Answer 1

(1) 0.35    (2) 0.992    (3) ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

2.35

由題意得x=100-(10+10+35)=45,
y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35.
因為乙運動員的射擊環數為9時的頻率為1-(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以z=0.4×=32.
由上可得表中x處填45,y處填0.35,z處填32.
(1)設甲運動員射擊1次擊中10環為事件A,則P(A)=0.35,即甲運動員射擊1次擊中10環的概率為0.35.
(2)設甲運動員射擊1次擊中9環為事件A₁,擊中10環為事件A₂,則甲運動員在1次射擊中擊中9環以上(含9環)的概率為P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.45+0.35
=0.8,
故甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環以上(含9環)的概率P=1-[1-P(A₁∪A₂)]³=1-0.2³=0.992.
(3)ξ的可能取值是0,1,2,3,則
P(ξ=0)=0.2²×0.25=0.01,
P(ξ=1)=×0.2×0.8×0.25+0.2²×0.75=0.11,
P(ξ=2)=0.8²×0.25+×0.8×0.2×0.75=0.4,
P(ξ=3)=0.8²×0.75=0.48.
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

E(ξ)=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35.