Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

是奇函數（a∈R）．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）試判斷函數f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將函數變形，再由奇函數探討f（-x）=-f（x），用待定系數法求解．
（Ⅱ）用定義求解，先在區間上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號，要注意變形到位．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，且是奇函數．將f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0對任意t∈R恒成立，轉化為2t²-（m-2）t-（m+1）＜0對任意t∈R恒成立．再用判別式法求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=

a2x+a-2

2x+1

∵f（x）是奇函數∴f（-x）=-f（x）
即

a2-x+a-2

2-x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

a+(a-2)2x

2x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

∴a-2=a，即a=1（4分）
即f(x)=1-

2

2x+1

（Ⅱ）設x₁，x₂為區間（-∞，+∞）內的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函數，且是奇函數．
∵f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0
∴f（t²-（m-2）t）＜-f（t²-m-1）=f（-t²+m+1）
∴t²-（m-2）t＜-t²+m+1（13分）
即2t²-（m-2）t-（m+1）＜0對任意t∈R恒成立．
只需△=（m-2）²+4×2（m+1）=m²+4m+12＜0，
解之得m∈∅（16分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性，單調性的判斷與證明以及用判別式求解恒成立問題．