Question

已知函數.
（1）若函數上是減函數，求實數a的最小值；
（2）若，使成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）.

解析試題分析：(1) 根據原函數在區間上的單調遞減轉化為導數在該區間內小于等于零恒成立，再把恒成立轉化為最值求解，在求解的過程中利用了二次三項式的配方；(2)命題的等價變換是解決本小題的關鍵，“若使成立”等價于 “當時，有”，于是整個問題就化為求函數的最值，然后利用導數分析單調性，進而求最值。
試題解析：由已知函數的定義域均為,且.
(1)函數,    2分
因f(x)在上為減函數，故在上恒成立．
所以當時，．
又，
故當，即時，．
所以于是，故a的最小值為．              6分
(2)命題“若使成立”等價于 “當時，有”．
由（Ⅱ），當時，，． 
問題等價于：“當時，有”．               8分
 當時，由（Ⅱ），在上為減函數，
則=，故．                 10分
 當時，由于在上為增函數，
故的值域為，即．
由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數；
當時，，為增函數；
所以，=，．
所以，，與矛盾，不合題意．    11分
綜上，得．      12分
考點：1.導數公式；2.函數的單調性；3.恒成立問題；4.函數的最值以及命題的等價變換.