Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長為a m，高為b m，已知流出的水中雜質的質量分數與乘積ab成反比，現有制箱材料60 m²，問當a,b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小?(A、B孔的面積忽略不計)

Answer 1

思路分析:要抓住本題的主要條件及要求:①流出的雜質與ab成反比，若設y為流出的雜質的質量分數，那么y=,其中k為反比例系數;②題目要求流出的雜質質量分數最小，就是積ab為最大.

解法一:設y為流出的雜質的質量分數，

則y=,k＞0,k為比例系數，

依題意，即所求的a,b的值，使y最小.

依題設，有4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

得b=(0＜a＜30).①

于是y=

當a+2=時取等號，y達到最小值.

這時a=6,a=-10(舍去)，將a=6代入①得b=3.

∴當a為6 m,b為3 m時，沉淀后流出的水中雜質的質量分數最小.

解法二:設流出的水中雜質的質量分數為y,依題意y=.

其中k為比例系數,k＞0,要求y的最小值,必須求解ab的最大值.

依題設4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a＞0,b＞0).

∵a+2b≥(當且僅當a=2b時取“=”),

∴ab+≤30,可解得0＜ab≤18.

由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,

即a=6,b=3時,ab取最大值,從而y值最小.