Question

如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出．設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a，b的乘積ab成反比．現(xiàn)有制箱材料60平方米．問當(dāng)a，b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）．

Answer 1

分析：先將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的函數(shù)的最值問題，再利用基本不等式求．

解答：解法一：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，
則y=

k

ab

，其中k＞0為比例系數(shù)．依題意，即所求的a，b值使y值最小．
根據(jù)題設(shè)，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
得b=

30-a

2+a

（0＜a＜30）．①
于是y=

k

ab

=

k

30a-a2 2+a

=

k

-a+32- 64 a+2

=

k

34-(a+2+ 64 a+2 )

≥

k

34-2 (a+2)• 64 a+2

=

k

18

，
當(dāng)a+2=

64

a+2

時取等號，y達到最小值．
這時a=6，a=-10（舍去）．
將a=6代入①式得b=3．
故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小．

解法二：依題意，即所求的a，b的值使ab最大．
由題設(shè)知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），
即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．
因為a+2b≥2

2ab

，
所以2

2

ab

+ab≤30，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，上式取等號．
由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．
即當(dāng)a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18．
所以2b²=18．解得b=3，a=6．
故當(dāng)a為6米，b為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小．

點評：本小題主要考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實際問題的能力，考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識．