Question

（本小題滿分14分）
設正整數數列{a_n}滿足：a₂＝4，且對于任何
n∈N^*，有．
（1）求a₁，a₃；
（2）求數列{ a_n }的通項a_n．

Answer 1

（1），
（2）對任意，

解：（1）據條件得    ①
當時，由，即有，
解得．因為為正整數，故．
當時，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用數學歸納法證明．
1當，時，由（1）知均成立；
2假設成立，則，則時
由①得


因為時，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即時，成立．
由1，2知，對任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用數學歸納法證明．
1當，時，由（1）知均成立；
2假設成立，則，則時
由①得
即　　　　　                     　②
由②左式，得，即，因為兩端為整數，
則．于是　　　　③
又由②右式，．
則．
因為兩端為正整數，則，
所以．
又因時，為正整數，則　　　　④
據③④，即時，成立．
由1，2知，對任意，．