Question

對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．
（Ⅰ）已知二次函數，試判斷是否為“局部奇函數”？并說明理由；
（Ⅱ）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）是，理由詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析試題分析：（Ⅰ）判斷方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解時，通過分離參數求取值范圍；（Ⅲ）在不便于分離參數時，通二次函數的圖象判斷一元二次方程根的分布.
試題解析：為“局部奇函數”等價于關于的方程有解．
（Ⅰ）當時，
方程即有解，
所以為“局部奇函數”．                                           3分
（Ⅱ）當時，可化為，
因為的定義域為，所以方程在上有解．    5分
令，則．
設，則，
當時，，故在上為減函數，
當時，，故在上為增函數，．              7分
所以時，．
所以，即．                                 9分
（Ⅲ）當時，可化為
．
設，則，
從而在有解即可保證為“局部奇函數”．   11分
令，
1° 當，在有解，
由，即，解得；        13分
2° 當時，在有解等價于
解得．                 15分
（說明：也可轉化為大根大于等于2求解）
綜上，所求實數m的取值范圍為．                   16分
考點：函數的值域、方程解的存在性的判定.