Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期是1；
則其中真命題是

①②③

．

Answer 1

分析：定義域顯然為R，然后根據題設x≤m+

1

2

，{x}=m，則f（x）=x-{x}≤

1

2

；
f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），所以關于x=x=

k

2

（k∈Z）對稱；
f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），所以周期為1．

解答：解：①定義域顯然為R，然后根據題設x≤m+

1

2

，{x}=m，
則f（x）=x-{x}≤

1

2

，故①成立；
②f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
所以關于x=

k

2

（k∈Z）對稱，故②成立；
③f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以周期為1，故③成立．
故答案為：①②③．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的定義域、值域、對稱性和周期性的求法．