Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點，點是曲線在第一象限的交點，且．
(Ⅰ)求雙曲線的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點為圓心的圓與直線相切，圓：．過點作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設被圓截得的弦長為，被圓截得的弦長為，問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) 雙曲線的方程為：； (Ⅱ) 為定值，定值為．

解析試題分析：(Ⅰ)根據拋物線的焦點為，得出雙曲線的焦點為、，再設在拋物線上，根據，結合拋物線的定義得，的值，最后根據雙曲線定義結合點A在雙曲線上，得，可求雙曲線方程； (Ⅱ)設圓的方程為：，根據雙曲線的漸近線方程和直線與圓相切的條件，得圓的半徑為，從而求出圓的方程．過點P作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線l₁和l₂，設其中的一條斜率為，則另一條的斜率為，利用直線的點斜式方程，將直線和的方程與圓方程聯解，可以得出弦長為s和t關于k的表達式，將其代入進行化簡，可以得到定值．
試題解析：(Ⅰ)∵拋物線的焦點為，
∴雙曲線的焦點為、，                         1分
設在拋物線上，且，
由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，      3分
∴，                              4分
又∵點在雙曲線上，由雙曲線定義得：
，∴，∴雙曲線的方程為：．          6分
(Ⅱ)為定值．下面給出說明．
設圓的方程為：，∵圓與直線相切，
∴圓的半徑為，故圓：．       7分
顯然當直線的斜率不存在時不符合題意，                     8分
設的方程為，即，
設的方程為