如圖，在
軸上方有一段曲線弧
，其端點
、
在軸上（但不屬于），對上任一點
及點
，
，滿足：
．直線
，
分別交直線
于
，
兩點．
（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；
（I）
.（II）
.
解析試題分析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
利用
的關系，得到的方程為.
要特別注意有限制
.
（II）設
并代入橢圓方程得到
，根據
，
，可以得到直線
的方程，進一步令可
得，的縱坐標分別，將
用縱坐標表出，應用“基本不等式”，得到其最小值.
本解答即體現此類問題的一般解法“設而不求”，又反映數學知識的靈活應用.
試題解析：（I）由橢圓的定義，曲線是以，為焦點的半橢圓，
.
∴的方程為. 4分
（注：不寫區間“”扣1分）
（II）由（I）知，曲線的方程為，設，
則有，即
①
又，，從而直線的方程為
AP：
； BP：
6分
令得，的縱坐標分別為
； 
.
∴
② 將①代入②， 得
. 8分
∴
.
當且僅當
，即
時，取等號．
即的最小值是. 12分
考點：橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，基本不等式的應用.
長江作業本同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
，
、
是其左右焦點，離心率為
，且經過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若
、
分別是橢圓長軸的左右端點，
為橢圓上動點，設直線
斜率為
，且
，求直線
斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動點，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點坐標為
，過
的直線交拋物線
于
兩點，直線
分別與直線
：
相交于
兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心為原點
，長軸長為
，一條準線的方程為
.
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）射線
與橢圓的交點為
，過作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于
兩點（兩點異于）．求證：直線
的斜率為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
與雙曲線
有公共焦點
，點
是曲線
在第一象限的交點，且
．
(Ⅰ)求雙曲線
的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切，圓
：
．過點
作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線
和
，設被圓截得的弦長為
，被圓截得的弦長為
，問：
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
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是它的兩個頂點，直線
與直線
相交于點D，與橢圓相交于
兩點.
，求
的值；
面積的最大值.
的離心率為
，橢圓的短軸端點與雙曲線
的焦點重合，過點
且不垂直于
軸直線
與橢圓
相交于
、
兩點.
的取值范圍.
：
與
正半軸、
正半軸的交點分別為
，動點
是橢圓上任一點，求
面積的最大值。
．
在
處取得極值，求
的值；
且
，函數
，若對于
，總存在
使得
，求實數
的取值范圍．