Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）如果對于任意的，總成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，，過點作函數圖象的所有切線，令各切點得橫坐標構成數列，求數列的所有項之和的值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）利用到導數法求解；（Ⅱ）構造新函數，用導數法求解；（Ⅲ）利用導數的幾何意義求切線方程，將的坐標代入切線方程，求得，再利用兩個函數的圖像均關于點對稱，它們交點的橫坐標也關于對稱成對出現.方程，的根即所作的所有切線的切點橫坐標構成的數列的項也關于對稱成對出現，在內共構成1006對.
試題解析：（Ⅰ）由于，
所以.           (2分)
當，即時，；
當，即時，.
所以的單調遞增區間為，
單調遞減區間為.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使總成立，只需時.
對求導得，
令，則，()
所以在上為增函數，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當時，恒成立，所以在上為增函數，所以，即恒成立；
② 當時，在上有實根，因為在上為增函數，
所以當時，，所以，不符合題意；
③ 當時，恒成立，所以在上為減函數，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是.                    (9分)
（Ⅲ）因為，所以，
設切點坐標為，則斜率為，
切線方程為，              (11分)
將的坐標代入切線方程，得

，即，               
令，，則這兩個函數的圖像均關于點對稱，它們交點的橫坐標也關于對稱成對出現，方程，的根即所作的所有切線的切點橫坐標構成的數列的項也關于對稱成對出現，在內共構成1006對，每對的和為，因此數列的所有項的和.                               (13分)