已知動點
到定點
和
的距離之和為
.
（Ⅰ）求動點軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
，過點
作直線
，交橢圓異于
的
兩點，直線
的斜率分別為
，證明：
為定值.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用.第一問是考查橢圓的基本量間的關系，比較簡單；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義，可知點的軌跡是以
為焦點，以為長軸長的橢圓．
由
，得
．故曲線的方程為． 5分
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設其方程為
，
由
，得
． 7分
設
，
，
，
．
從而
． 11分
當直線的斜率不存在時，得
，
得
．
綜上，恒有． 12分
考點：1.三角形面積公式；2.余弦定理；3.韋達定理；4.橢圓的定義.
期末沖刺100分創新金卷完全試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，
、
、
是橢圓的頂點，
是橢圓上除頂點外的任意點，直線
交
軸于點
，直線
交
于點
，設的斜率為
，
的斜率為
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的左焦點為
，右焦點為
．
（Ⅰ）設直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點P，線段
的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為坐標原點，取曲線上不同于的點
，以
為直徑作圓與相交另外一點
，求該圓的面積最小時點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
（
）右頂點與右焦點的距離為
，短軸長為
.
（I）求橢圓的方程；
（II）過左焦點
的直線與橢圓分別交于
、
兩點，若三角形
的面積為
，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為
，過任作直線
(與
軸不平行)交拋物線分別于
兩點，點
關于
軸對稱點為
，
（1）求證：直線
與軸交點
必為定點；
（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于
，求
的最小值，并求當取最小值時直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，橢圓
經過點
離心率
，直線
的方程為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)
是經過右焦點
的任一弦(不經過點
)，設直線與直線相交于點
，記
的斜率分別為
問:是否存在常數
，使得
若存在求的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋
＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的上、下頂點分別為
，點
在橢圓上，且異于點，直線
與直線
分別交于點
，
（Ⅰ）設直線的斜率分別為
，求證：
為定值；
（Ⅱ）求線段
的長的最小值；
（Ⅲ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線
上，A，C關于
軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分
；
（Ⅱ）若點A坐標為
，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。
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