Question

已知拋物線的焦點為，過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點，點關于軸對稱點為，

（1）求證：直線與軸交點必為定點；
（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于，求的最小值，并求當取最小值時直線的方程.

Answer 1

（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點.
（2）或.

解析試題分析：（1）通過確定直線的方程，證明直線與軸交于定點.
（2）應用導數的幾何意義，確定過點及過點的切線方程并聯立方程組，確定,，
進一步應用“弦長公式”及均值定理，建立的方程，確定得到，從而求得直線的方程為：或.
試題解析：設，∵拋物線的焦點為

∴可設直線的方程為：
，消去并整理得：
  4分
,
直線的方程為
∴直線與軸交于定點    7分
（2），∴過點的切線方程為：
即：③，同理可得過點的切線方程為：
④  9分
③—④得：()
∴
③+④得：
  12分
∴,

∴,取等號時，，
直線的方程為：或.  15分
考點：直線與拋物線的位置關系，導數的幾何意義，均值定理的應用.