Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（3

2

，

2

），橢圓的離心率e=

2 2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（3

2

，

2

），橢圓的離心率e=

2 2

3

．可得

18 a2 + 2 b2 =1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設直線MA的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于∠AMB的平分線與y軸平行，可得直線MA與MB的斜率互為相反數．設直線MB的斜率為k，得到直線MB：y-

2

=k(x-3

2

)，與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，再利用斜率計算公式即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過點M（3

2

，

2

），橢圓的離心率e=

2 2

3

．
∴

18 a2 + 2 b2 =1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得

a2=36 b2=4，c2=32

．
因此橢圓方程為

x2

36

+

y2

4

=1
（2）設直線MA的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵∠AMB的平分線與y軸平行，∴直線MA與MB的斜率互為相反數，
設直線MB的斜率為k，聯立直線MA與橢圓方程：

y=kx+ 2 -3 2 k x2 36 + y2 4 =1

，
整理得(9k2+1)x2+18

2

k(1-3k)x+162k2-108k-18=0，
解得x1=

18 2 (3k2-k)

9k2+1

-3

2

，x2=

18 2 (3k2+k)

9k2+1

-3

2

，
可得x2-x1=

36 2 k

9k2+1

，x2+x1=

108 2 k2

9k2+1

-6

2

，
又y2-y1=-k(x2+x1)+6

2

k=

-108k3

9k2+1

+12

2

k=

12 2 k

9k2+1

，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

12 2 k 9k2+1

36 2 k 9k2+1

=

1

3

為定值．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、斜率計算公式、角平分線的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．