Question

設函數f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）證明：f（x）的導數f′（x）≥2；
（Ⅱ）若對所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的導數f'（x）=e^x+e^-x．
由于ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，故f'（x）≥2．
（當且僅當x=0時，等號成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，則g'（x）=f'（x）-a=e^x+e^-x-a，
（ⅰ）若a≤2，當x＞0時，g'（x）=e^x+e^-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上為增函數，
所以，x≥0時，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根為x1=ln

a+ a2-4

2

，
此時，若x∈（0，x₁），則g'（x）＜0，故g（x）在該區間為減函數．
所以，x∈（0，x₁）時，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，與題設f（x）≥ax相矛盾．
綜上，滿足條件的a的取值范圍是（-∞，2]．