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設y=f(x)是定義在區間[－1，1]上的函數，且滿足條件：①f(－1)=f(1)=0；②對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．

(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)在區間[－1，1]上是否存在滿足題設條件的奇函數y=f(x)，且使得：

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
答案：略
解析：

(1)證明：由題設條件可知，當：x∈[－1，1]時，

有．

即x－1≤f(x)≤1－x．

(2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，

當時，有．

當時，有，不妨設u＜0，v＞0，且v－u＞1，

所以．

綜上可知：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)解：滿足所述條件的函數不存在．

理由如下：假設存在函數f(x)滿足條件，則由|f(u)－f(v)|=|u－v|．

u，，得．

又f(1)=0，所以．

又因為f(x)為奇函數，所以f(0)=0．由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，，得．這與矛盾，所以假設不成立，即這樣的函數不存在．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：044

設y=f(x)是定義在區間［-1,1］上的函數,且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f(x)是定義在區間［-1,1］上的函數,且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

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科目：高中數學 來源：廣東省模擬題 題型：證明題

設y=f(x)是定義在區間（a，b）（b＞a）上的函數，若對x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，則稱y=f(x)是區間（a，b）上的平緩函數．
（1）試證明對k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是區間（-1，1）上的平緩函數；
（2）若f(x)是定義在實數集R上的、周期為T=2的平緩函數，試證明對x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f(x)是定義在［-1，1］上的函數，且滿足:

(i)f(-1)=f(1)=0;

(ii)對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對x∈［-1,1］都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤1.

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