Question

設y=f(x)是定義在區間［-1,1］上的函數,且滿足條件:

①f(-1)=f(1)=0;

②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在區間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數y=f(x),且使得

若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1)證明:由題設條件可知,當x∈［-1,1］,

|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,

即x-1≤f(x)≤1-x.

(2)證明:對任意的u,v∈［-1,1］,

當|u-v|≤1時,有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.

當|u-v|＞1時,有u·v＜0.

不妨設u＜0,則v＞0且v-u＞1,

所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1.

綜上可知,對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1.

(3)解析:滿足所述條件的函數不存在,理由如下:假設存在函數f(x)滿足條件,

則由|f(u)-f(v)|=|u-v|,u,v∈［,1］得

|f()-f(1)|=|-1|=.

又f(1)=0,所以|f()|=.①

又因為f(x)為奇函數,所以f(0)=0.

由條件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈［0,］得

|f()|=|f()-f(0)|＜.②

①與②矛盾,所以假設不成立,即這樣的函數不存在.