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己知函數f(x)=
x2
1+x2
，那么f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2009
)=（　　）
分析：題目中給出了函數解析式，當然可以逐項求解，再相加．審題后，應當注意到所給的自變量的取值有特點：倒數關系，由此應先考慮f（x）+f（
1
x
）的結果的特殊性，以期減少重復的運算．
解答：解：∵f(x)=
x2
1+x2
，∴f（x）+f（
1
x
）=
x2
1+x2
+
(
1
x
)2
1+(
1
x
)2
=
x2
1+x2
+
1
x2+1
=1
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2009
)
=f（1）+[f（2）+f（
1
2
）]+f（3）+f（
1
3
）]+…+[f（2009）+f（
1
2009
）]
=
1
2
+1+1+…+1
=2008
1
2

故選：D．
點評：本題考查函數值求解，函數性質．意識到先考慮f（x）+f（
1
x
）的結果的特殊性，是本題的關鍵，精彩之處．也是良好數學素養的體現．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f(x)=4sin2(
π
4
+x)-2
3
cos2x-1，且給定條件P：x＜
π
4
或x＞
π
2
，
（1）求￢P的條件下，求f（x）的最值；
（2）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）己知函數f（x）=
a
x
-1（其中a是不為0的實數），g（x）=lnx，設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）判斷函數F（x）在（0，3]上的單調性；
（Ⅱ）已知s，t為正實數，求證：ttex≥stet（其中e為自然對數的底數）；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得函數y=f（
2a
x2+1
）+2m的圖象與函數y=g（x2+1）的圖象恰好有四個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武清區一模）己知函數f(x)=-lnx-
ax
，a∈R．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年福建省四校高三第一次聯考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

己知函數f（x）=sin x-cos x．
（1）若cosx=-，x∈[，π]，求函數f （x）的值；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移m個單位，使平移后的圖象關于原點對稱，若0＜m＜π，試求m的值．

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科目：高中數學 來源：3年高考2年模擬：4.2 三角函數的圖象和性質及三角恒等變換（5）（解析版） 題型：解答題

己知函數f（x）=sin x-cos x．
（1）若cosx=-，x∈[，π]，求函數f （x）的值；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移m個單位，使平移后的圖象關于原點對稱，若0＜m＜π，試求m的值．

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