已知函數
，
（1）求
在
處切線方程；
（2）求證：函數在區間
上單調遞減；
（3）若不等式
對任意的
都成立，求實數
的最大值.
（1）
；（2）詳見解析；（3）
解析試題分析：（1）先求導函數，再求
，再用點斜式方程求切線方程；（2）要證明函數在區間上單調遞減，只需證明
在恒成立，先求導
，分母大于0，只需證明分子小于0恒成立，構造函數
，說明其最大值小于0即可，這樣就把問題轉化為求函數的最大值問題了，繼續求導
，發現
，故
遞減，所以
；
（3）恒成立問題可以考慮參變分離，兩邊取自然對數得
，從而參變分離為
，只需用導數求右邊函數的最小值即可，為了便于求導可換元，設
，則
，進而用導數求其最小值.
試題解析：（1）由已知
切線方程；
（2）
，令
=
，
， 
在（0,1）上是減函數；
（3）
兩邊取對數 即
，令
設
，設
，
由（2）知函數在區間上單調遞減，
在
上是減函數
，
在上是減函數
即
.
考點：1、導數的幾何意義；2、導數在單調性上的應用；3、利用導數求最值.
陽光試卷單元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
．
（I）求函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
，試解答下列兩小題．
（i）若不等式
對任意的
恒成立，求實數
的取值范圍；
（ii）若
是兩個不相等的正數，且以
，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
，其中
.
（Ⅰ）討論
的單調性；
（Ⅱ）若
在其定義域內為增函數，求正實數
的取值范圍；
（Ⅲ）設函數
，當
時，若
，
，總有
成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，其中
是自然對數的底數，
．
（1）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）若
，求的單調區間；
（3）若
，函數的圖象與函數
的圖象有3個不同的交點，求實數
的取值范圍.
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，函數
.
的值；
的單調區間.
，
.
的單調性；
，使得
成立，求滿足上述條件的最大整數
；
，都有
成立，求實數
的取值范圍.
的導數為
,若函數
的圖象關于直線
對稱，且函數
在
處取得極值.
的值；
，
．
的單調遞增區間；
為函數
處的切線的斜率恒大于
，
的取值范圍．
，函數
.
，求曲線
在點
處的切線方程；
的單調區間；
時，求函數
上的最小值.