Question

（本題滿分12分）
設函數(shù)且對任意非零實數(shù)恒有，且對任意．  
（Ⅰ）求及的值；   
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性;
（Ⅲ）求方程的解.

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）函數(shù)是偶函數(shù).
（Ⅲ）方程的解集為.

解：（Ⅰ）對任意非零實數(shù)恒有，
令代入可得，┈┈ 1分
又令，代入并利用，可得.┈┈ 1分
（Ⅱ）取，代入得，又函數(shù)定義域為，
函數(shù)是偶函數(shù). ┈┈ 2分
（Ⅲ）函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，證明如下：
任取且，則，由題設有，
，
，即函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)；┈┈ 4分
由（Ⅱ）函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)；┈┈ 1分

解得或，┈┈ 2分
方程的解集為.┈┈ 1分