Question

已知數列{a_n} 2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），它的前n項和為S_n 且a₅=5，S₇=28 
（1）求數列{

1

Sn

}前n項的和T_n
（2）若數列{b_n}滿足b₁=1，b n+1=bn+qan(q＞0)求數列{b_n}的通項公式，并比較b_n•b_n+2，b n+12的大小．

Answer 1

分析：（1）利用2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差數列，利用條件求出數列的通項與前n項和，再利用裂項法求和，即可得到結論；
（2）確定數列{b_n}的通項，再作差，即可得到結論．

解答：解：（1）由2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），知{a_n}是等差數列，
∵a₅=5，S₇=28 
∴a₁+4d=5，7a₁+21d=28
∴a₁=1，d=1，∴a_n=n…（3分），
∴Sn=

n(n+1)

2

，∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．…（6分）
（2）∵bn+1-bn=qn，
∴當n≥2時，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+q+…+qn-1=

n，q=1 1-qn 1-q ，q≠1

當n=1時，b₁=1滿足上式，故bn=

n，q=1 1-qn 1-q ，q≠1

…（9分）．
當q=1時，bnbn+2-bn+12=n（n+2）-（n+1）²=-1＜0，…（10分）
當q≠1時，bnbn+2-bn+12=

1-qn

1-q

•

1-qn+2

1-q

-(

1-qn+1

1-q

)2=-qⁿ＜0，
所以bnbn+2＜bn+12…（12分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法求和，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．