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我們規定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：數學公式．如：數學公式，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，數學公式，數學公式（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，數學公式，求數學公式．

解：（1）m=（1-2x）（1+3x2）=1-2x+3x2-6x3
則
（2）
∵∴
∴=an（n∈N*），知{an}是周期為3的數列     
假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立，則：
===
∴．
即存在實常數，對于任意的n∈N*，總成立    
（3）=
∴，即
分析：（1）先將m=（1-2x）（1+3x2）展開，再根據定義，將m表示成x進制的簡記形式．
（2）由題意，知{an}是周期為3的數列．假設存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立，則由定義可得．
（3）先求=，再求極限．
點評：本題以新定義為載體，考查數列及極限，關鍵是理解新定義，合理轉化，需要計算細心．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•奉賢區模擬）我們規定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數學 來源：2008-2009學年度高三數學模擬試題分類匯編：數列 題型：044

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x(x≠0)，使得A＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：

．如：，則表示A是一個2進制形式的數，且A＝－1＋3×2＋(－2)×22＋1×23＝5．

(1)已知m＝(1－2x)(1＋3x2)(其中x≠0)，試將m表示成x進制的簡記形式．

(2)若數列{an}滿足a1＝2，，

，是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn＝p·8n＋q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．

(3)若常數t滿足t≠0且t＞－1，，求．

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科目：高中數學 來源：奉賢區模擬 題型：解答題

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C1n
)(
C2n
)(
C3n
)…(
Cn-1n
)(
Cnn
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數學 來源：2008年上海市奉賢區高三聯考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

我們規定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：．如：，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，，（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，，求．

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