Question

已知直線l₁：4x+3y-12=0與x軸和y軸分別交于A，B兩點，直線l₂經過點C(0，

3

2

)且與直線l₁垂直，垂足為M．
（Ⅰ）求直線l₂的方程與點M的坐標；
（Ⅱ）若將四邊形OAMC（O為坐標原點）繞y軸旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的體積V．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據直線l₁的方程，得到直線l₂的斜率為k₂=

3

4

，從而設l₂的方程為3x-4y+m=0．再由點C(0，

3

2

)在直線l₂上，代入即可得m=6，得到直線l₂的方程．最后由兩條直線方程聯解，可得點M的坐標為（

6

5

，

12

5

）；
（Ⅱ）根據直線l₁方程，分別求出A，B兩點的坐標，再結合M（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)，得到將四邊形OAMC繞y軸旋轉一周得到的幾何體是兩個錐體的差，最后用圓錐的體積公式可以求出其體積V．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l₁：4x+3y-12=0的斜率為k₁=-

4

3

∴直線l₂的斜率為k₂=

-1

k1

=

3

4

，可設l₂的方程為3x-4y+m=0．
∵點C(0，

3

2

)在直線l₂上，
∴3×0-4×

3

2

+m=0，可得m=6．
∴直線l₂的方程為3x-4y+6=0．（2分）
再由

4x+3y-12=0 3x-4y+6=0

聯解，得

x= 6 5 y= 12 5

∴點M的坐標為（

6

5

，

12

5

）．　（4分）
（Ⅱ）∵直線l₁：4x+3y-12=0與x軸和y軸分別交于A，B兩點，
∴令y=0，得x=3，得A（3，0）．再令x=0，得y=3，得B（0，4）．
∵M（

6

5

，

12

5

），C(0，

3

2

)．　
∴將四邊形OAMC（O為坐標原點）繞y軸旋轉一周，得到的幾何體是兩個錐體的差，
其體積為：V=

1

3

π•32•4-

1

3

π•(

6

5

)2•(4-

3

2

)=

54

5

π．（7分）

點評：本題根據兩條直線的方程，求參數m的值，并求四邊形繞y軸旋轉一周圍成的幾何體積，著重考查了直線的相互關系和旋轉體的體積公式等知識點，屬于中檔題．