Question

（08年宣武區質量檢一）（13分）

    如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，

AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB

（1）       求證：AB平面PCB；

（2）       求異面直線AP與BC所成角的大小；

（3）       求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

Answer 1

解析：解法一：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，

PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，

AB 平面PCB                  ………………………………………4分

（2）過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF、FC，

則為異面直線PA與BC所成的角。

由（1）可得AB BC，CF AF，

有三垂線定理，得PF AF，則AF=CF=，

PF=。

在Rt中，，

異面直線PA與BC所成的角為 ………………………………………… 8分

（3）取AP的中點E，連結CE、DE

PC=AC=2，CEPA，CE=

CD平面PAB，由三垂線定理的逆定理，得DEPA，

為二面角C-PA-B的平面角

由（1）AB 平面PCB ，又AB=BC，可得BC=

在Rt中，PB=，CD=

在Rt中，

二面角C-PA-B大小的余弦值為 ……………………………………..13分

解法二：（1）同解法一 ………………………………………………………4分

（2）由（1）AB 平面PCB  ，PC=AC=2，

又AB=BC， 可求得BC=

以B為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）

P（，0，2）

=（，-，2），=（，0，0）

則=+0+0=2

異面直線AP與BC所成的角為………………………………………………8分

（3）設平面PAB的法向量為m=（x，y，z）

=（0，-，0），=（，-，0）

則，即，得m=（，0，-1）

設平面PAC的法向量為n=（x，y，z）

=（0，0，-2），=（，-，0），則，即

得n=（1，1，0）

Cos<m,n>=

二面角C-PA-B大小的余弦值為 ……………………………………..13分