Question

設函數f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N^*，b，c∈R）
（Ⅰ）設n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區間（

1

2

，1）內存在唯一的零點；
（Ⅱ）設n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）表示出f_n（x），根據零點判定定理可得函數在區間（

1

2

，1）內存在零點，利用導數可判斷函數單調，從而可得零點的唯一性；
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）_max-f（x）_min≤4，按照對稱軸在區間[-′1，1]的外邊、內部進行分類討論，可得函數的最大值、最小值及最大值與最小值的差．

解答：解：（Ⅰ）n≥2，b=1，c=-1時，f_n（x）=xⁿ+x-1，
∵fn(

1

2

)•f_n（1）=(

1

2n

-

1

2

)×1＜0，
∴f_n（x）在區間（

1

2

，1）內存在零點，
又f′n(x)=nxn-1+1＞0，
∴f_n（x）在區間（

1

2

，1）上是單調遞增函數，
故f_n（x）在區間（

1

2

，1）內存在唯一的零點；
當n=2時，f2(x)=x2+bx+c，
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f₂（x₁）-f₂（x₂）丨≤4等價于f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值之差M=f（x）_max-f（x）_min≤4，
據此分類討論如下：
（1）當|

b

2

|＞1，即|b|＞2時，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，與題設矛盾；
（2）當-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2時，M=f2(1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

+1)2≤4恒成立；
（3）當0＜-

b

2

≤1，即-2≤b≤0時，M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=(

b

2

-1)2≤4恒成立；
綜上知-2≤b≤2．

點評：本題考查函數的零點判定定理、函數恒成立問題，轉化為函數最值是解決恒成立問題的常用方法．