Question

已知函數f(x)=ax³+bx²+cx是R上的奇函數，且f(1)=2,f(2)＝10
（1）確定函數的解析式;（2）用定義證明在R上是增函數；
（3）若關于x的不等式f(x²－4)+f(kx+2k)<0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范圍。

Answer 1

（1） （3）（－∞，1]

（2）證明：設x₁,x₂是R上的任意兩個不相等的實數，且x₁<x₂, 則

      
∴函數f(x)在R上是增函數。……………………………………………………………..10
（3）∵f(x²－4)+f(kx+2k)<0    ∴f(x²－4)<－f(kx+2k)＝f(－kx－2k)
又因為f(x)是增函數，即x²－4<－kx－2k
∴x²+kx+2k－4<0在（0，1）上恒成立               ………………………………..12
法（一）令g(x) =x²+kx+2k－4   x∈（0，1）
        ∴k的取值范圍是（－∞，1] ……………14