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如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，點E在線段AB的延長線上．若曲線段DE（含兩端點）為某曲線L上的一部分，且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立恰當的直角坐標系，求曲線L的方程；
（2）根據曲線L的方程寫出曲線段DE（含兩端點）的方程；
（3）若點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點，試求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值時點M的坐標．
解（1）如圖，以AB所在的直線為x軸，其垂直平分線為y軸，建立所示的直角坐標系，
則A(-2，0)，B(2，0)，C(2，
3
)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
設動點M（x，y）為曲線L上的任一點，
則|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，
即
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8
整理得
x2
16
+
y2
12
=1，為所求曲線L的方程
（2）由題意知xD＜x＜xE，y≥0，
而xD=xA=-2，xE=4
則所求曲線段DE的方程為
x2
16
+
y2
12
=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由橢圓的定義及點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
則|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2
3
，
當且僅當點M位于線段BC的交點處時等號成立，
由BC⊥AB知此時點M的橫坐標為2，則其縱坐標為3，
即當點M的坐標為（2，3）時|MC|+|MA|有最小值8-2
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點F為其下焦點，點O為坐標原點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為坐標原點，F是拋物線E：y2=4x的焦點．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的方程為x2=4y，直線y=2與拋物線C相交于M，N兩點，點A，B在拋物線C上．
（Ⅰ）若∠BMN=∠AMN，求證：直線AB的斜率為
2
；
（Ⅱ）若直線AB的斜率為
2
，求證點N到直線MA，MB的距離相等．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知一條曲線C在y軸右側，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）設直線l交曲線C于A，B兩點，線段AB的中點為D（2，-1），求直線l的一般式方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2周長為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

過點P（1，1）作直線與雙曲線x2-
y2
2
=1交于A、B兩點，使點P為AB中點，則這樣的直線（　　）
A．存在一條，且方程為2x-y-1=0
B．存在無數條
C．存在兩條，方程為2x±（y+1）=0
D．不存在

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：x2-
y2
2
=1，過點P（-1，-2）的直線交C于A，B兩點，且點P為線段AB的中點．
（1）求直線AB的方程；
（2）求弦長|AB|的值．

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