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已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．
（I）由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py（p＞0）則
p
2
=1，解得p=2，故拋物線C的方程為x2=4y
（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為y=kx+1
由
y=kx+1
x2=4y
消去y，整理得x2-4kx-4=0
所以x1+x2=4k，x1x2=-4，從而有|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=4
k2+1

由
y=
y1
x1
x
y=x-2
解得點M的橫坐標為xM=
2x1
x1-y1
=
2x1
x1-
x12
4
=
8
4-x1
，
同理可得點N的橫坐標為xN=
8
4-x2

所以|MN|=
2
|xM-xN|=
2
|
8
4-x1
-
8
4-x2
|=8
2
|
x1-x2
x1x2-4(x1+x2)+16
|=
8
2
k2+1
|4k-3|

令4k-3=t，t不為0，則k=
t+3
4

當t＞0時，|MN|=2
2
25
t2
+
6
t
+1
＞2
2

當t＜0時，|MN|=2
2
25
t2
+
6
t
+1
=2
2
(
5
t
+
3
5
)2+
16
25
≥
8
2
5

綜上所述，當t=-
25
3
時，|MN|的最小值是
8
2
5
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知F是拋物線y2=4x上的焦點，P是拋物線上的一個動點，若動點M滿足
FP
=2
FM
，則M的軌跡方程是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于不同的A，B兩點．
（1）求AB的長度；
（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出k的值，若不存在，寫出理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，O為坐標原點；當拋物線上點N的縱坐標為1時，|NF|=2，已知直線l經(jīng)過拋物線C的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點
（1）求拋物線C的方程；
（2）若△AOB的面積為4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P（x0，y0）是橢圓C：
x2
5
+y2=1上的一點．F1、F2是橢圓C的左右焦點．
（1）若∠F1PF2是鈍角，求點P橫坐標x0的取值范圍；
（2）求代數(shù)式
y20
+2x0的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
3
2
，短軸長為2，點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓上的兩點，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求直線AB的斜率；
（3）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知△ABC中，B（-2，0），C（2，0），△ABC的周長為12，動點A的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)P、Q為E上兩點，
OP
•
OQ
=0，過原點O作直線PQ的垂線，垂足為M，證明|OM|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
3
，點E在線段AB的延長線上．若曲線段DE（含兩端點）為某曲線L上的一部分，且曲線L上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼担笄�L的方程；
（2）根據(jù)曲線L的方程寫出曲線段DE（含兩端點）的方程；
（3）若點M為曲線段DE（含兩端點）上的任一點，試求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值時點M的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，a+b=3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點，P是橢圓C上除頂點外的任意點，直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2m-k為定值．

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