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直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于不同的A，B兩點．
（1）求AB的長度；
（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出k的值，若不存在，寫出理由．
聯立方程組
y=kx+1
3x2-y2=1
，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
∵直線與雙曲線有兩個交點，
∴
3-k2≠0
△=4k2+8(3-k2)＞0
，解得k2＜6且k2≠3，
x1+x2=
2k
3-k2
，x1x2=
-2
3-k2
．
（1）|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
2k
3-k2
)2-4•
-2
3-k2

=
2
-k4+5k2+6
|k2-3|
（k2＜6且k2≠3）．
（2）假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過坐標原點，
則kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
-2
3-k2
+k•
2k
3-k2
+1=0，
整理得k2=1，符合條件，
∴k=±1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

直線y=x+m與曲線y=
1-2x2
有兩個交點，則實數m的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設點Q是橢圓位于x軸下方的一點，直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，若k1=7k2，設△BPQ與△APQ的面積分別為S1，S2，求S1-S2的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1(a＞1)的離心率為e，點F為其下焦點，點O為坐標原點，過F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
）與橢圓C相交于P，Q兩點，且滿足：
OP
•
OQ
=
a2(c2-m2)-1
2-c2
．
（Ⅰ）試用a表示m2；
（Ⅱ）求e的最大值；
（Ⅲ）若e∈(
1
3
，
1
2
)，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，過點F2與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點，則△ABF1的周長為4
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C（
1
3
，0），使得|AC|=|BC|，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左、右焦點分別為F1、F2，過F1作直線交橢圓于P、Q兩點，△F2PQ的周長為4
3
．
（1）若橢圓的離心率e=
3
3
，求橢圓的方程；
（2）若M為橢圓上一點，
MF1
•
MF2
=1，求△MF1F2的面積最大時的橢圓方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的焦點在x軸上，O為坐標原點，F是一個焦點，A是一個頂點．若橢圓的長軸長是6，且cos∠OFA=
2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求點R（0，1）與橢圓C上的點N之間的最大距離；
（Ⅲ）設Q是橢圓C上的一點，過Q的直線l交x軸于點P（-3，0），交y軸于點M．若
MQ
=2
QP
，求直線l的斜率．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點為O（0，0），焦點F（0，1）
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過F作直線交拋物線于A、B兩點．若直線OA、OB分別交直線l：y=x-2于M、N兩點，求|MN|的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率e=
5
5
，過F1的直線交橢圓于M、N兩點，且△MNF2周長為4
5
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知過橢圓中心，且斜率為k（k≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點，P是線段AB的垂直平分線與橢圓E的一個交點，若△APB的面積為
40
9
，求k的值．

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