Question

已知點（1，3）、（a_n，a_n+1）（n∈N^*）都在函數f（x）=px+2（p為常數）的圖象上，a₁=1，數列{b_n}滿足：bn=an+

1

n(n+1)

（n∈N^*）．
（I）求數列{a_n}的通項公式；   
（II）求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）將點（1，3）、（a_n，a_n+1）代入f（x）=px+2，可得數列{a_n}是以2為公差的等差數列，從而可得結論；
（II）利用分組求和，可得結論．

解答：解：（I）∵點（1，3）、（a_n，a_n+1）在f（x）=px+2的圖象上
∴3=p+2，a_n+1=pa_n+2
∴p=1，a_n+1-a_n=2
∴數列{a_n}是以2為公差的等差數列，
∵a₁=1，d=2，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（II）∵bn=an+

1

n(n+1)

=2n-1+（

1

n

-

1

n+1

）
∴S_n=[1+3+…+（2n-1）]+[（1-

1

2

）+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=n2+

n

n+1

．

點評：本題考查等差數列的判斷，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．