Question

如圖，已知在直三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB= AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點。

（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁F⊥平面AEF；
（3）求二面角B₁-AE-F的余弦值。

Answer 1

解：（1）如圖，連接A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連接BP， 由E為C1C的中點，A1C1∥CP， 可得A1E=EP ∵D，E分別是A1B，A1P的中點， ∴DE∥BP， 又∵BP平面ABC，DE平面ABC， ∴DE∥平面ABC。
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90° F為BC的中點， ∴BC⊥ AF， 又∵B1B⊥平面ABC， 由三垂線定理可得B1F⊥AF 設AB=AA1=2，則B1F=，EF=，B1E=3， ∴B1F2+EF2=B1E2， ∴B1F⊥EF， ∵AF∩EF=F， ∴B1F⊥平面AEF；
（3）如圖過F作FM⊥AE于點M，連接B1M ∵B1F⊥平面AEF，由三垂線定理可得 B1M⊥AE， ∴∠B1MF為二面角B1-AE-F的平面角 又C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，由三垂線定理可得EF⊥AF， 在Rt△AEF中，可求得 在Rt△B1FM中，∠B1FM=90° ∴ ∴二面角B1-AE-F的余弦值為。