Question

（本小題滿分14分)
已知數列是各項均不為的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足
，．數列滿足，為數列的前n項和．
（1）求、和；
（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有
的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）在中，令，，
得  即      ……………………………………2分
解得，，                       ………………………………………3分
．
，
．       ……………………5分
（法二）是等差數列，
．               …………………………2分
由，得 ，                        
又，，則．              ………………………3分
(求法同法一)
（2）①當為偶數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …………………………………6分
，等號在時取得．           
此時 需滿足．               …………………………………………7分
②當為奇數時，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．       …………………………………8分
是隨的增大而增大， 時取得最小值．
此時 需滿足．               …………………………………………9分
綜合①、②可得的取值范圍是．  …………………………………………10分
（3），
若成等比數列，則，即．…11分
（法一）由，　　可得，
即，  　　　               …………………………………12分
．                    ……………………………………13分
又，且，所以，此時．
因此，當且僅當， 時，數列中的成等比數列．…………14分
（法二）因為，故，即，
，（以下同上）．   …………………………………………13分

略