Question

已知函數f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，數列{a_n}滿足 a₁=a（a≠-1，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（1）若數列{a_n}是常數列，求a的值；
（2）當a₁=4時，記bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，證明數列{b_n}是等比數列，并求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）由已知數列{a_n}是常數列，可得a_n+1=a_n=a，結合a_n+1=f（a_n）及已知函數f（x）可得關于a的方程，可求a
（2）由a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，及a_n+1=f（a_n）=

4an-2

an+1

，利用遞推關系可求b_n+1與b_n的關系，可證{b_n}為等比數列，進而可求b_n，代入bn=

an-2

an-1

可求a_n，可求極限

解答：（1）解：∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，數列{a_n}是常數列，
∴a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1．
∴所求實數a的值是1或2．
（2）證明：∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b1=

2

3

，bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴數列{b_n}是以b1=

2

3

為首項，公比為q=

2

3

的等比數列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，
解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴

lim

n→∞

an=2．

點評：本題主要考查 了利用數列的遞推公式證明等比數列，求解數列的通項公式，及數列極限的求解，試題具有一定的綜合性