Question

設函數f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R)，區間M=[-1，1]，集合N={y|y=f（x），x∈M}，則使M=N成立的實數m的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．無數

Answer 1

分析：先判斷函數f（x）是奇函數，題意可得，當-1≤x≤1時，函數的值域為[-1，1]．分m＞0和m＜0 兩種情況，分別利用函數的單調性求得m的值，綜合可得結論．

解答：解：由函數f(x)=

mx

1+|x|

(x∈R) 可得f（-x）=

m(-x)

1+|-x|

=-

mx

1+|x|

=-f（x），故函數f（x）是奇函數．
題意可得，當-1≤x≤1時，函數的值域為[-1，1]．
①若x∈[0，1]，且m＞0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函數在[0，1]上是增函數，故函數f（x）在區間M=[-1，1]上是增函數，
故有f（-1）=-1，f（1）=1，即

-m

2

=-1，

m

2

=1，解得 m=2．
②若x∈[0，1]，且m＜0，由 f（x）=

mx

1+x

=m-

m

1+x

，故函數在[0，1]上是減函數，故函數f（x）在區間M=[-1，1]上是減函數，
故有f（-1）=1，f（1）=-1，即

-m

2

=1，

m

2

=-1，解得 m=-2．
③顯然，m=0不滿足條件．
綜上可得，m=±2，故使M=N成立的實數m的個數為2，
故選B．

點評：本題主要考查集合關系中參數的取值范圍問題，函數的奇偶性、單調性的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．